Objectif

Le but de cette activité est d'étudier différents algorithmes permettant de déterminer le zéro d'une fonction. Notre point de départ est donc un intervalle vérifiant et la fonction f continue et monotone sur cet intervalle afin d'avoir l'existence d'un unique zéro.

fonctions mathématiques

Le module math contient des fonctions cos, sin, sqrt que vous pouvez importer. Attention, les fonctions trigonométriques prennent des radiants en argument !

Pour convertir les degrés en radiants, le module math a une fonction radians qui fait la conversion, ou bien une variable pi pour la valeur de pi.

Question 1

Écrire une fonction python Y(theta) qui prend en argument et renvoie un flottant, permettant de calculer la fonction mathématiques définie au-dessus. Faire attention aux unités des angles.

Question 2

Définir en python la liste vec_theta contenant des valeurs allant de -50° à 50° avec un pas de 0,1.

Courbes en python

Pour tracer une courbe en python, il faut commencer par importer le module matplotlib.pyplot :

import matplotlib.pyplot as plt

Puis, on peut :

• déclarer des courbes avec plt.plot(Lx, Ly) où Lx et Ly contiennent les valeurs des abscisses et des ordonnées (en général sous forme de liste).
• afficher une grille en arrière-plan avec plt.grid(visible=True)
• afficher toutes les courbes déclarées avec plt.show()
• remettre à zéro l'affichage avec plt.clf(), ou bien en ré-important la librairie.

Question 3

Affichez, sur une courbe, la valeur de theta et de Y(theta) pour toutes les valeurs de vec_theta. Déterminer graphiquement la valeur de θ pour laquelle la fontion Y est nulle.

Question 4

Déterminez (à l'aide d'un code python), parmis les valeurs de vec_theta, celle qui est la plus proche d'un zéro de la fonction Y (c'est à dire la valeur theta telle que Y(theta) soit la plus proche de zero).

Combien d'opérations cette recherche a-t-elle demandé ?

Question 5

Écrire une fonction dichotomie(f, a, b, eps) permettant de trouver le zéro de la fonction f (supposée croissante) à eps près sur l’intervalle correct [a, b] par la méthode de dichotomie. La fonction renvoie la liste des couples (an, bn) des valeurs de a et b à chaque étape de l'algorithme.

Inspirez-vous de la fonction de recherche dichotomique vue en cours si besoin ! Le cours est disponible ici.

On demande de s'arrêter lorsque l'intervalle [an, bn] est de longueur inférieur à eps.

Question 6

Déterminer par dichotomie la valeur de θ pour laquelle la fonction Y est nulle à près. En combien d’itérations la solution est-elle trouvée ?

Visualisation

Le module affichage du site permet d'animer les étapes : animer_dichotomie(Y, dichotomie(Y, -50, 50, 1e-6)), après avoir fait from affichage import animer_dichotomie.

Question 7

Écrire une fonction derivee(f,x) permettant d'évaluer la dérivée de la fonction f à l'abscisse x. On pourra utiliser la formule du taux d'accroissement décrit plus haut avec

Question 8

Écrire une fonction newton(f,x0,eps) permettant de trouver le zéro de la fonction f à eps au voisinage du point x0 par la méthode de newton. La fonction renvoie la liste des éléments de la suite des zéros trouvés par la méthode de Newton.

Question 9

Déterminer par la méthode de Newton la valeur de θ pour laquelle la fonction Y est nulle à près. En combien d’itérations la solution est-elle trouvée ?

Visualisation

De même, animer_newton(Y, newton(Y, x0, 1e-6)) anime la suite des approximations (après from affichage import animer_newton).